Exercice 20, § 6

a) Soit $Y$ un espace métrique; pour tout $y \in Y$ et tout $r > 0$, on désigne par $B(y; r)$ la boule ouverte de centre $y$ et de rayon $r$ dans $Y$. Soit $\mathfrak{S}$ un ensemble de boules ouvertes dans $Y$, dont les diamètres forment un ensemble borné dans $\mathbf{R}$, et qui est tel que, pour tout suite $(B(y_n; r_n))$ de boules appartenant à $\mathfrak{S}$ et deux à deux disjointes, on a $\lim_{n \to \infty} r_n = 0$. Montrer que si $M$ est la réunion des boules $B \in \mathfrak{S}$, il existe une suite de boules $B(y_n; r_n) \in \mathfrak{S}$, deux à deux disjointes et telles que les boules $B(y_n; 4r_n)$ forment un recouvrement de $M$. (Si $k > 0$ est un majorant de l’ensemble des rayons des boules $B \in \mathfrak{S}$, définir par récurrence sur $h$ une suite de familles $(\mathfrak{T}_h)$ de boules $B(y_{hj}; r_{hj}) \in \mathfrak{S}$ de sorte que $\mathfrak{T}_h$ soit maximale parmi les familles (finies) de boules appartenant à $\mathfrak{S}$, deux à deux disjointes et disjointes des boules appartenant aux familles $\mathfrak{T}_i$ pour $i < h$, et de rayons compris entre $(2/3)^{h+1}k$ et $(2/3)^hk$.)

b) Soient $X$ un espace localement compact métrisable, $d$ une distance sur $X$ compatible avec sa topologie; on note encore $B(x; r)$ la boule ouverte de centre $x$ et de rayon $r > 0$ pour cette distance, par $\delta(A)$ le diamètre d’une partie $A$ de $X$ pour la distance $d$. Soit $\mu$ une mesure positive sur $X$ vérifiant les conditions suivantes: 1° toute boule ouverte est $\mu$-intégrable; 2° on a $\mu(B(x; 4r)) \leqslant K \cdot \mu(B(x; r))$, où $K$ est une constante $> 1$ indépendante de $x$ et de $r$; 3° si une suite $(B_n)$ de boules ouvertes est telle que $\lim_{n \to \infty} \mu(B_n) = 0$, alors $\lim_{n \to \infty} \delta(B_n) = 0$; 4° si une suite $(B_n)$ de boules ouvertes est telle que $\lim_{n \to \infty} \delta(B_n) = +\infty$, alors $\lim_{n \to \infty} \mu(B_n) = +\infty$.

Soit $f \in \mathscr{L}^p(X; \mu)$ une fonction à valeurs $\geq 0$ ($1 < p < \infty$); pour tout $x \in X$, on pose

où B parcourt l’ensemble des boules ouvertes de centre x. Montrer que $\bar{f}$ est finie et semi-continue inférieurement dans X.

c) Soit $f^*$ le réarrangement décroissant de $f$ (§ 5, exerc. 29); pour $t > 0$, on pose

qui est une fonction continue décroissante telle que $f^* \leq \beta_f$; on a $\beta_f(t) = o(t^{-1/p})$ pour $t$ tendant vers 0 ou vers $+\infty$ (exerc. 19 a)). Enfin, on désigne par $\gamma_f$ la fonction réciproque de $\beta_f$, définie dans l’intervalle $]0, \beta_f(0+)[$, et prolongée par 0 à l’extérieur de cet intervalle si $\beta_f(0+)$ est fini.

Pour tout $t > 0$, on désigne par $M_t$ l’ensemble des $x \in X$ tels que $\bar{f}(x) > t$. Montrer que l’on a $\mu(M_t) \leq K \cdot \gamma_f(t)$. (Pour tout $x \in M_t$, soit $B_x$ une boule ouverte de centre $x$ telle que $\int_{B_x} f(y) d\mu(y) \geq t \cdot \mu(B_x)$; appliquer a) à la famille des boules $B_x$).

d) Déduire de c) que l’on a

(Observer que le premier membre s’écrit aussi $\int_0^{+\infty} pt^{p-1}(\mu(M_t)) dt$ et utiliser l’inégalité de Hardy (exerc. 19)).