Bài tập 20, § 6

a) Cho Y là một không gian mêtric; với mọi $y \in Y$ và mọi $r > 0$, ký hiệu $B(y; r)$ là quả cầu mở trong Y có tâm $y$ và bán kính $r$. Cho $\mathscr{G}$ là một tập hợp các quả cầu mở trong Y có các đường kính tạo thành một tập hợp bị chặn trong $\mathbf{R}$, và có tính chất là, với mọi dãy $(B(y_n; r_n))$ gồm các quả cầu từng đôi một rời nhau thuộc $\mathscr{G}$, ta có $\lim_{n \to \infty} r_n = 0$. Chứng minh rằng nếu M là hợp của các quả cầu $B \in \mathscr{G}$, thì tồn tại một dãy các quả cầu từng đôi một rời nhau $B(y_n; r_n) \in \mathscr{G}$ sao cho các quả cầu $B(y_n; 4r_n)$ tạo thành một phủ của M. (Nếu $k > 0$ là một cận trên cho tập hợp các bán kính của các quả cầu $B \in \mathscr{G}$, hãy định nghĩa bằng quy nạp theo $h$ một dãy các họ $(\mathfrak{F}_h)$ gồm các quả cầu $B(y_{hj}; r_{hj}) \in \mathscr{G}$ sao cho $\mathfrak{F}_h$ là cực đại trong số các họ (hữu hạn) các quả cầu thuộc $\mathscr{G}$, từng đôi một rời nhau và rời nhau với các quả cầu thuộc các họ $\mathfrak{F}_i$ với $i < h$, và có các bán kính nằm giữa $(2/3)^{h+1}k$ và $(2/3)^hk$.)

b) Cho X là một không gian compact địa phương mêtric hóa được, $d$ là một mêtric trên X tương thích với tôpô của nó; một lần nữa ký hiệu $B(x; r)$ là quả cầu mở có tâm $x$ và bán kính $r > 0$ đối với mêtric này, và ký hiệu $\delta(A)$ là đường kính của một tập con A của X đối với mêtric $d$. Cho $\mu$ là một độ đo dương trên X thỏa mãn các điều kiện sau: 1° mọi quả cầu mở đều $\mu$-khả tích; 2° $\mu(B(x; 4r)) \leq K \cdot \mu(B(x; r))$, trong đó K là một hằng số $> 1$ độc lập với $x$ và $r$; 3° nếu một dãy $(B_n)$ các quả cầu mở có tính chất $\lim_{n \to \infty} \mu(B_n) = 0$, thì $\lim_{n \to \infty} \delta(B_n) = 0$; 4° nếu một dãy $(B_n)$ các quả cầu mở có tính chất $\lim_{n \to \infty} \delta(B_n) = +\infty$, thì $\lim_{n \to \infty} \mu(B_n) = +\infty$.

Cho $f \in \mathscr{L}^p(X; \mu)$ là một hàm có các giá trị $\geq 0$ ($1 < p < +\infty$); với mọi $x \in X$, đặt

trong đó B chạy trên tập hợp các quả cầu mở có tâm x. Chứng minh rằng $\overline{f}$ là hữu hạn và nửa liên tục dưới trên X.

c) Cho $f^*$ là sắp xếp giảm của $f$ (§5, Bài tập 29); với $t > 0$, đặt

là một hàm liên tục giảm sao cho $f^* \leq \beta_f$; ta có $\beta_f(t) = o(t^{-1/p})$ khi $t$ tiến tới 0 hoặc tới $+\infty$ (Bài tập 19 a)). Cuối cùng, ký hiệu $\gamma_f$ là hàm nghịch đảo của $\beta_f$, xác định trên khoảng $]0, \beta_f(0+)[$, và được mở rộng bằng 0 ra ngoài khoảng này nếu $\beta_f(0+)$ là hữu hạn.

Với mọi $t > 0$, ký hiệu $M_t$ là tập hợp các $x \in X$ sao cho $\overline{f}(x) > t$. Chứng minh rằng $\mu(M_t) \leq K \cdot \gamma_f(t)$. (Với mọi $x \in M_t$, lấy $B_x$ là một quả cầu mở có tâm $x$ sao cho $\int_{B_x} f(y) d\mu(y) \geq t \cdot \mu(B_x)$; áp dụng a) cho họ các quả cầu $B_x$.)

d) Suy ra từ c) rằng

(Chú ý rằng vế thứ nhất cũng có thể được viết là $\int_0^{+\infty} p t^{p-1} (\mu(M_t)) dt$, và sử dụng bất đẳng thức Hardy (Bài tập 19).)