Exercice 3, § 6

Soit $\mu$ une mesure sur un espace compact X, telle que X soit égal au support de $\mu$. Montrer que si toute fonction numérique mesurable et bornée en mesure est égale presque partout à une fonction continue, X est un espace stonien (cf. chap. II, § 1, exerc. 13) (considérer la fonction caractéristique d’un ensemble compact). Inversement, si X est un espace stonien, pour que toute fonction mesurable et bornée en mesure soit égale presque partout à une fonction continue, il faut et il suffit que tout ensemble rare dans X soit négligeable (cf. § 5, exerc. 18).