Exercice 4, § 6

Soit $\varphi(t_1, t_2, \ldots, t_n)$ une fonction numérique finie satisfaisant aux conditions de la prop. 1 du chap. I. Montrer que si $f_1, f_2, \ldots, f_n$ sont n fonctions numériques finies positives, intégrables et non négligeables, la fonction $\varphi(f_1, f_2, \ldots, f_n)$ est intégrable et on a

En outre, pour que l’on ait

il faut et il suffit que, pour presque tout $x \in X$, le point de $\mathbf{R}^n$ dont les coordonnées sont $\xi_i = f_i(x)/\varphi(f_1(x), \ldots, f_n(x))$ appartienne à la facette par rapport à K du point dont les coordonnées sont

(raisonner comme dans l’exerc. 2). En particulier, p et q désignant deux exposants conjugués tels que $1 < p < +\infty$:

$1^0$ pour que deux fonctions numériques positives $f \in \mathscr{L}^p, g \in \mathscr{L}^q$ soient telles que $\int fg \, d\mu = N_p(f)N_q(g)$, il faut et il suffit qu’il existe deux nombres $\alpha, \beta$ non tous deux nuls tels que l’on ait $\alpha(f(x))^p = \beta(g(x))^q$ presque partout;

$2^0$ pour que deux fonctions numériques positives $f \in \mathscr{L}^p, g \in \mathscr{L}^p$ soient telles que $N_p(f+g) = N_p(f) + N_p(g)$, il faut et il suffit qu’il existe deux nombres $\alpha, \beta$ non tous deux nuls, tels que l’on ait $\alpha f(x) = \beta g(x)$ presque partout.