Bài tập 4, § 6

Cho $\varphi(t_1, t_2, \ldots, t_n)$ là một hàm số hữu hạn thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 1 của Ch. I. Chứng minh rằng nếu $f_1, f_2, \ldots, f_n$ là $n$ hàm số hữu hạn dương, khả tích và không tầm thường, thì hàm $\varphi(f_1, f_2, \ldots, f_n)$ là khả tích và

Hơn nữa, để có điều kiện cần và đủ là, với hầu khắp mọi $x \in X$, điểm của $\mathbf{R}^n$ có các tọa độ là $\xi_i = f_i(x)/\varphi(f_1(x), \ldots, f_n(x))$ thuộc vào diện với đối với $K$ của điểm có các tọa độ là (lập luận như trong Bài tập 2). Đặc biệt, $p$ và $q$ là hai số mũ liên hợp sao cho $1 < p < +\infty$: $1^\circ$ để hai hàm số hữu hạn dương $f \in \mathscr{L}^p, g \in \mathscr{L}^q$ thỏa mãn $\int fg d\mu = N_p(f)N_q(g)$, điều kiện cần và đủ là tồn tại hai số $\alpha, \beta$, không đồng thời bằng không, sao cho $\alpha(f(x))^p = \beta(g(x))^q$ hầu khắp nơi; $2^\circ$ để hai hàm số hữu hạn dương $f \in \mathscr{L}^p, g \in \mathscr{L}^p$ thỏa mãn $N_p(f+g) = N_p(f) + N_p(g)$, điều kiện cần và đủ là tồn tại hai số $\alpha, \beta$, không đồng thời bằng không, sao cho $\alpha f(x) = \beta g(x)$ hầu khắp nơi.