Exercice 5, § 6

a) Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur l’intervalle $X = ]0, +\infty[$. Pour tout nombre $p$ tel que $0 < p \leq +\infty$, donner des exemples de fonctions $f \geq 0$, mesurables dans X, telles que l’ensemble des nombres $r$ ($0 \leq r \leq +\infty$) pour lesquels $N_r(f) = (\int f^r \, d\mu)^{1/r}$ soit fini, soit l’un des intervalles $]0, p[, ]0, p], ]p, +\infty[, (p, +\infty]$ (prendre pour $f$ des fonctions de la forme $x^\alpha (\log x)^\beta$ au voisinage de 0 ou de $+\infty$); en déduire que pour tout intervalle I contenu dans $]0, +\infty]$, il existe une fonction $f$ mesurable et $\geq 0$, telle que I soit identique à l’ensemble des $r > 0$ pour lesquels $N_r(f) < +\infty$ (considérer la somme de deux fonctions pour lesquelles I a l’une des quatre formes ci-dessus).

b) Pour la mesure de Lebesgue sur l’intervalle $]0, 1[$, donner de même des exemples de fonctions $f$ telles que l’ensemble I des nombres $r > 0$, pour lesquels $N_r(f) < +\infty$, soit un intervalle quelconque d’origine 0 contenu dans $]0, +\infty]$.