Bài tập 5, § 6

a) Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên khoảng $X = ]0, +\infty[$. Với mọi số $p$ sao cho $0 < p \leq +\infty$, hãy cho các ví dụ về các hàm đo được $f \geq 0$ trên $X$, sao cho tập hợp các số $r$ ($0 \leq r \leq +\infty$), mà với chúng $N_r(f) = (\int f^r d\mu)^{1/r}$ là hữu hạn, là một trong các khoảng $]0, p[, ]0, p] , ]p, +\infty[ , [p, +\infty]$ (lấy cho $f$ các hàm có dạng $x^\alpha (\log x)^\beta$ trong lân cận của 0 hoặc của $+\infty$); từ đó, suy ra rằng với mọi khoảng I được chứa trong $]0, +\infty[$, tồn tại một hàm đo được $f \geq 0$ sao cho I đồng nhất với tập hợp các $r > 0$ mà $N_r(f) < +\infty$ (xét tổng của hai hàm mà đối với chúng I có một trong bốn dạng trên).

b) Đối với độ đo Lebesgue trên khoảng $]0, 1[$, tương tự, hãy cho các ví dụ về các hàm $f$ sao cho tập hợp I các số $r > 0$ mà $N_r(f) < +\infty$ là một khoảng tùy ý được chứa trong $]0, +\infty[$ có điểm đầu mút trái là 0.