Exercice 6, § 6

Pour toute fonction numérique mesurable et non négligeable $f \geqslant 0$, montrer que $N_r(f)$ est une fonction de $r$ indéfiniment dérivable en tout point intérieur à l’intervalle où elle est finie. En déduire que, dans l’intérieur de l’intervalle où $N_r(f)$ est finie, $\log N_r(f)$ est fonction strictement convexe de $1/r$ pourvu que $f$ ne soit pas presque partout constante dans l’ensemble des $x \in X$ où $f(x) \neq 0$.