Exercice 4, Annexe 0

Soient $I$ un ensemble et $l^2(I)$ l’espace vectoriel des familles $x = (x_i)_{i \in I}$ de nombres réels telles que $\sum_{i \in I} x_i^2$ soit fini. Soit $(\lambda_i)_{i \in I}$ une famille sommable de nombres positifs. Pour tout $x$ dans $l^2(I)$, on pose $Q(x) = \sum_{i \in I} \lambda_i x_i^2$ et $H(x) = \sum_{i \in I} x_i^2$. Montrer que l’on a $\mathrm{Tr}(Q/H) = \sum_{i \in I} \lambda_i$. (Utiliser l’exercice 2, a).)