Exercice 8, Annexe 0

Soient $E$ et $F$ deux espaces hilbertiens réels. Sur $E \otimes F$, il existe une structure d’espace préhilbertien séparé tel que $(x_1 \otimes y_1|x_2 \otimes y_2) = (x_1|x_2).(y_1|y_2)$ pour $x_1, x_2$ dans $E$ et $y_1, y_2$ dans $F$. On note $E \otimes_2 F$ l’espace hilbertien complété de $E \otimes F$. a) Si $E'$ (resp. $F'$) est un sous-espace vectoriel fermé de $E$ (resp. $F$), montrer que $E' \otimes_2 F'$ s’identifie au sous-espace vectoriel fermé de $E \otimes_2 F$ engendré par les éléments $x \otimes y$ tels que $x \in E'$ et $y \in F'$.

b) On suppose que $E$ (resp. $F$) est somme hilbertienne d’une famille $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ (resp. $(F_\beta)_{\beta \in B}$) de sous-espaces vectoriels fermés. Montrer que $E \otimes_2 F$ est somme hilbertienne de la famille $(E_\alpha \otimes_2 F_\beta)_{(\alpha, \beta) \in A \times B}$ de sous-espaces vectoriels fermés.

c) Si $(e_i)_{i \in I}$ (resp. $(f_j)_{j \in J}$) est une base orthonormale de $E$ (resp. $F$), alors la famille $(e_i \otimes f_j)_{(i, j) \in I \times J}$ est une base orthonormale de $E \otimes_2 F$.

d) Soit $G$ un espace hilbertien réel. Définir des isomorphismes canoniques de $E \otimes_2 F$ sur $F \otimes_2 E$ et de $(E \otimes_2 F) \otimes_2 G$ sur $E \otimes_2 (F \otimes_2 G)$.

e) Soient $E_1$ et $F_1$ deux espaces hilbertiens réels, et $u : E \to E_1, v : F \to F_1$ des applications linéaires continues. Montrer que $u \otimes v$ se prolonge par continuité en une application linéaire continue $u \otimes_2 v$ de $E \otimes_2 F$ dans $E_1 \otimes_2 F_1$ et que l’on a $\|u \otimes_2 v\| = \|u\| \cdot \|v\|$.