Bài tập 8, Phụ lục 0

Cho E và F là hai không gian Hilbert thực. Trên $E \otimes F$ tồn tại một cấu trúc không gian tiền-Hilbert Hausdorff sao cho $(x_1 \otimes y_1 | x_2 \otimes y_2) = (x_1 | x_2) \cdot (y_1 | y_2)$ với $x_1, x_2$ thuộc E và $y_1, y_2$ thuộc F. Người ta ký hiệu bởi $E \otimes_2 F$ phần hoàn thiện Hilbert của $E \otimes F$.

a) Nếu $E'$ (tương ứng $F'$) là một không gian con tuyến tính đóng của E (tương ứng F), hãy chứng minh rằng $E' \otimes_2 F'$ có thể được đồng nhất với không gian con tuyến tính đóng của $E \otimes_2 F$ sinh bởi các phần tử $x \otimes y$ sao cho $x \in E'$ và $y \in F'$.

b) Giả sử rằng E (tương ứng F) là tổng Hilbert của một họ $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ (tương ứng $(F_\beta)_{\beta \in B}$) các không gian con tuyến tính đóng (TVS, V, §2, No. 2, Định. 2). Hãy chứng minh rằng $E \otimes_2 F$ là tổng Hilbert của họ $(E_\alpha \otimes_2 F_\beta)_{(\alpha, \beta) \in A \times B}$ các không gian con tuyến tính đóng.

c) Nếu $(e_i)_{i \in I}$ (tương ứng $(f_j)_{j \in J}$) là một cơ sở trực chuẩn của E (tương ứng F), thì họ $(e_i \otimes f_j)_{(i, j) \in I \times J}$ là một cơ sở trực chuẩn của $E \otimes_2 F$.

d) Cho G là một không gian Hilbert thực. Hãy định nghĩa các đẳng cấu chính tắc của $E \otimes_2 F$ lên $F \otimes_2 E$ và của $(E \otimes_2 F) \otimes_2 G$ lên $E \otimes_2 (F \otimes_2 G)$.

e) Cho $E_1$ và $F_1$ là hai không gian Hilbert thực, và $u : E \to E_1, v : F \to F_1$ là các ánh xạ tuyến tính liên tục. Hãy chứng minh rằng $u \otimes v$ có thể được mở rộng bởi tính liên tục thành một ánh xạ tuyến tính liên tục $u \otimes_2 v$ của $E \otimes_2 F$ vào $E_1 \otimes_2 F_1$, và rằng $\|u \otimes_2 v\| = \|u\| \cdot \|v\|$.