Exercice 10, § 1

Soient T un espace topologique et $\mu$ une mesure positive sur T; on suppose que T est réunion d’une suite d’ensembles $\mu$-intégrables $T_n$ ($n \geqslant 0$). On note $\mathfrak{C}$ le clan de parties de T engendré par les parties compactes. a) Soit X un espace lusinien. Pour toute application $\mu$-mesurable $f$ de T dans X, il existe une suite d’applications $f_m : T \to X$ ayant les propriétés suivantes: $\alpha)$ pour $\mu$-presque tout $t \in T$, on a $f(t) = \lim_{m \to \infty} f_m(t) ; \beta)$ pour tout entier m, il existe une partition finie de T en ensembles $A_j \in \mathfrak{C}$ telle que $f_m$ soit constante sur chacun des ensembles $A_j$ (se ramener au cas où les ensembles $T_n$ forment une partition de T, où $T_0$ est $\mu$-négligeable et $T_n$ compact pour $n \geqslant 1$, et où X est un espace polonais). b) Soient $X_1, \ldots, X_p$ des espaces lusiniens, Y un espace topologique, g une application de $X_1 \times \cdots \times X_p$ dans Y, et $f_i$ (pour $1 \leqslant i \leqslant p$) une application $\mu$-mesurable de T dans $X_i$. On suppose que, pour $1 \leqslant i \leqslant p$, l’application partielle $x_i \mapsto g(x_1, \ldots, x_p)$ de $X_i$ dans Y est continue quels que soient $x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_p$. Montrer que l’application $t \mapsto g(f_1(t), \ldots, f_p(t))$ de T dans Y est $\mu$-mesurable.