Bài tập 10, § 1

Cho T là một không gian tôpô và $\mu$ là một độ đo dương trên T; giả sử rằng T là hợp của một dãy các tập hợp $\mu$-khả tích $T_n$ ($n \geq 0$). Ký hiệu $\mathfrak{C}$ là họ các tập con của T sinh bởi các tập compact. a) Cho X là một không gian Lusin. Với mọi ánh xạ $\mu$-đo được $f$ của T vào X, tồn tại một dãy các ánh xạ $f_m : T \to X$ có các tính chất sau: $\alpha)$ với $\mu$-hầu khắp mọi $t \in T$, $f(t) = \lim_{m \to \infty} f_m(t)$; $\beta)$ với mọi số nguyên $m$, tồn tại một phân hoạch hữu hạn của T thành các tập hợp $A_j \in \mathfrak{C}$ sao cho $f_m$ là hằng trên mỗi tập hợp $A_j$ (rút gọn về trường hợp các tập hợp $T_n$ tạo thành một phân hoạch của T, trong đó $T_0$ là không đáng kể đối với $\mu$ và $T_n$ là compact với $n \geq 1$, và X là một không gian Polish). b) Cho $X_1, \ldots, X_p$ là các không gian Lusin, Y là một không gian tôpô, $g$ là một ánh xạ của $X_1 \times \cdots \times X_p$ vào Y, và $f_i$ (với $1 \leq i \leq p$) là một ánh xạ $\mu$-đo được của T vào $X_i$. Giả sử rằng, với $1 \leq i \leq p$, ánh xạ riêng phần $x_i \mapsto g(x_1, \ldots, x_p)$ của $X_i$ vào Y là liên tục với mọi $x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_p$. Chứng minh rằng ánh xạ $t \mapsto g(f_1(t), \ldots, f_p(t))$ của T vào Y là $\mu$-đo được.