Exercice 3, § 2

Soient X un ensemble, et $\mathscr{T}, \mathscr{T}'$ deux topologies séparées sur X, $\mathscr{T}'$ étant moins fine que $\mathscr{T}$. On note T (resp. $T'$) l’ensemble X muni de la topologie $\mathscr{T}$ (resp. $\mathscr{T}'$) et j l’application identique de T dans $T'$ (qui est continue). On suppose que toute mesure positive et bornée sur $T'$ est portée par la réunion d'une suite de parties compactes de $T$. Pour toute topologie $\mathscr{S}$ intermédiaire entre $\mathscr{T}$ et $\mathscr{T}'$, on note $T_{\mathscr{S}}$ l'ensemble $X$ muni de la topologie $\mathscr{S}$. Montrer que l'ensemble des mesures bornées sur $T_{\mathscr{S}}$ est indépendant de $\mathscr{S}$.