Bài tập 3, § 2

Cho X là một tập hợp, và $\mathscr{T}, \mathscr{T}'$ là hai tôpô Hausdorff trên X, với $\mathscr{T}'$ thô hơn $\mathscr{T}$. Ký hiệu T (tương ứng T') là tập hợp X được trang bị tôpô $\mathscr{T}$ (tương ứng $\mathscr{T}'$), và j là ánh xạ đồng nhất từ T vào T' (liên tục). Giả sử rằng mọi độ đo dương bị chặn trên T' đều được mang bởi hợp của một dãy các tập con compact của T. Với mọi tôpô $\mathscr{S}$ trung gian giữa $\mathscr{T}$ và $\mathscr{T}'$, ký hiệu T_\mathscr{S} là tập hợp X được trang bị tôpô $\mathscr{S}$. Chứng minh rằng tập hợp các độ đo bị chặn trên T_\mathscr{S} là độc lập với $\mathscr{S}$.