Exercice 10, § 3

Soit X un ensemble infini non dénombrable, muni d’une relation de bon ordre notée $x \leq y$. Pour tout $x \in X$, on note $I(x)$ l’ensemble des $y \in X$ tels que $y < x$. On fait les hypothèses suivantes: α) il existe un plus grand élément a dans X; β) l’ensemble des cardinaux strictement plus petits que Card(X) a un plus grand élément c; γ) pour tout $x$ dans $I(a)$, on a Card(I(x)) $\leq c$, et l’ensemble Y des $x \in X$ tels que Card(I(x)) = c est non vide; δ) toute jauge sur un ensemble de cardinal $\leq c$ est atomique. Montrer que toute jauge sur X est atomique. On pourra raisonner par l’absurde de la manière suivante: soit m une jauge diffuse non nulle sur X. Notons b le plus petit élément de Y, et pour tout $x \in I(a)$, soit $f_x$ une injection de I(x) dans I(b). Pour tout couple $(x, y) \in I(a) \times I(b)$, on note $A_{x, y}$ l’ensemble des $z \in X$ tels que $x < z < a$ et $f_z(x) = y$; pour tout $x \in I(a)$, on note $M_x$ l’ensemble des $y \in I(b)$ tels que $m(A_{x, y}) > 0$, et pour tout $y \in I(b)$, on note $N_y$ l’ensemble des $x \in I(a)$ tels que $m(A_{x, y}) > 0$. En utilisant l’exerc. 9, c), montrer qu’on a $m(X) = \sum_{y \in I(b)} m(A_{x, y})$; en déduire que l’ensemble $M_x$ est dénombrable et non vide pour tout $x \in I(a)$; montrer ensuite que chacun des ensembles $N_y$ est dénombrable et en déduire la contradiction Card(X) = c.