Bài tập 10, § 3

Cho $X$ là một tập vô hạn không đếm được, được trang bị một quan hệ thứ tự tốt được ký hiệu bởi $x \leq y$. Với mọi $x \in X$, ta ký hiệu bởi $I(x)$ tập hợp các $y \in X$ sao cho $y < x$. Ta đặt các giả thiết sau: $\alpha$ tồn tại một phần tử lớn nhất $a$ trong $X$; $\beta$ tập hợp các lực lượng nhỏ hơn nghiêm ngặt $\mathrm{Card}(X)$ có một phần tử lớn nhất $c$; $\gamma$ với mọi $x$ trong $I(a)$, ta có $\mathrm{Card}(I(x)) \leq c$, và tập hợp $Y$ gồm các $x \in X$ sao cho $\mathrm{Card}(I(x)) = c$ là khác rỗng;

δ) mọi độ đo trên một tập hợp có lực lượng $\leq c$ đều là nguyên tử. Chứng minh rằng mọi độ đo trên X đều là nguyên tử. Có thể lập luận bằng phản chứng theo cách sau: cho $m$ là một độ đo khuếch tán khác không trên X. Ký hiệu bởi b phần tử nhỏ nhất của Y, và với mọi $x \in I(a)$ cho $f_x$ là một đơn ánh từ $I(x)$ vào $I(b)$. Với mọi cặp $(x, y) \in I(a) \times I(b)$, ký hiệu bởi $A_{x,y}$ tập hợp các phần tử $z \in X$ sao cho $x < z < a$ và $f_z(x) = y$; với mọi $x \in I(a)$, ký hiệu bởi $M_x$ tập hợp các $y \in I(b)$ sao cho $m(A_{x,y}) > 0$, và với mọi $y \in I(b)$, ký hiệu bởi $N_y$ tập hợp các $x \in I(a)$ sao cho $m(A_{x,y}) > 0$. Dùng Bài tập 9 c), chứng minh rằng $m(X) = \sum_{y \in I(b)} m(A_{x,y})$; từ đó, suy ra rằng tập hợp $M_x$ là đếm được và khác rỗng với mọi $x \in I(a)$; sau đó chứng minh rằng mỗi tập hợp $N_y$ là đếm được và từ đó suy ra mâu thuẫn $\mathrm{Card}(X) = c$.