Exercice 13, § 3

Dans cet exercice, on admet l’hypothèse du continu, c’est-à-dire qu’on adjoint aux axiomes de la théorie des ensembles l’axiome : « Card(\mathbf{R}) est le plus petit des cardinaux non dénombrables » (1).

a) Toute jauge sur \mathbf{R} est atomique (cf. exerc. 11). b) Soient X un ensemble et m une jauge sur X satisfaisant à la propriété suivante : pour toute partie A de X telle que $m(A) > 0$, il existe une partie B de A telle que $0 < m(B) < m(A)$; alors m est nulle (pour tout entier $n \geqslant 1$, il existe une partition finie $(X_{n,i})_{i \in I_n}$ de X telle que $m(X_{n,i}) \leqslant 1/n$ pour tout $i \in I_n$; poser $I = \prod_{n \geqslant 1} I_n$ et $X_\alpha = \bigcap_{n \geqslant 1} X_{n,\alpha_n}$ pour tout $\alpha = (\alpha_n)_{n \geqslant 1}$ dans I ; la famille $(X_i)_{i \in I}$ est une partition de X, on a $m(X_i) = 0$ pour tout $i \in I$, et toute jauge sur I est atomique d’après a); conclure par l’exerc. 9, c)). c) Soit X un ensemble sur lequel il n’existe aucun ultrafiltre d’Ulam non trivial; alors toute jauge sur X est atomique (sinon, d’après b), il existerait une jauge diffuse m sur X et une partie A de X telle que $m(A) > 0$ et que l’on ait $m(B) = 0$ ou $m(A - B) = 0$ pour toute partie B de A; l’ensemble U des parties B de X telles que $m(A) = m(A \cap B)$ serait un ultrafiltre d’Ulam non trivial sur X). d) Montrer que $2^c$ est ulamien pour tout cardinal ulamien c (d’après c), il suffit de montrer que si C est un ensemble de cardinal c, tout ultrafiltre d’Ulam U sur X = {0, 1}\textsuperscript{c} est trivial; munir C d’une structure de bon ordre et définir par récurrence transfinie une famille $s = (s_\alpha)_{\alpha \in C}$ d’éléments de {0, 1} telle que l’ensemble des $x = (x_\alpha)_{\alpha \in C}$ dans X tels que $x_\alpha = s_\alpha$ pour tout $\alpha \leqslant \beta$ appartienne à U pour tout $\beta \in C$ (cf. exerc. 12); alors s appartient à tout élément de U) (2).