Bài tập 13, § 3

Trong bài tập này, ta thừa nhận giả thiết continuum, tức là ta thêm vào các tiên đề của lý thuyết tập hợp tiên đề « Card($\mathbf{R}$) là lực lượng không đếm được nhỏ nhất ». (1)

a) Mọi hàm đo trên $\mathbf{R}$ đều nguyên tử (xem Bài tập 11).

b) Cho X là một tập hợp và $m$ là một hàm đo trên X thỏa mãn tính chất sau: với mọi tập con A của X sao cho $m(A) > 0$, tồn tại một tập con B của A sao cho $0 < m(B) < m(A)$; khi đó $m$ là không (với mọi số nguyên $n \geq 1$, tồn tại một phân hoạch hữu hạn $(X_{n,i})_{i \in I_n}$ của X sao cho $m(X_{n,i}) \leq 1/n$ với mọi $i \in I_n$; đặt $I = \prod_{n \geq 1} I_n$ và $X_\alpha = \bigcap_{n \geq 1} X_{n,\alpha_n}$ với mọi $\alpha = (\alpha_n)_{n \geq 1}$ trong I; họ $(X_i)_{i \in I}$ là một phân hoạch của X, $m(X_i) = 0$ với mọi $i \in I$, và mọi hàm đo trên I đều nguyên tử theo a); kết luận bằng Bài tập 9 c)).

c) Cho X là một tập hợp trên đó không tồn tại siêu lọc Ulam không tầm thường nào; khi đó mọi hàm đo trên X đều nguyên tử (nếu không, theo b), tồn tại một hàm đo khuếch tán $m$ trên X và một tập con A của X sao cho $m(A) > 0$ và sao cho $m(B) = 0$ hoặc $m(A - B) = 0$ với mọi tập con B của A; tập hợp $\mathscr{U}$ gồm các tập con B của X sao cho $m(A) = m(A \cap B)$ sẽ là một siêu lọc Ulam không tầm thường trên X).

d) Chứng minh rằng $2^c$ là một lực lượng Ulam với mọi lực lượng Ulam c (theo c), chỉ cần chứng minh rằng nếu C là một tập hợp có lực lượng c, thì mọi siêu lọc Ulam $\mathscr{U}$ trên $X = \{0, 1\}^C$ đều tầm thường; trang bị cho C một cấu trúc thứ tự tốt và định nghĩa bằng quy nạp siêu hạn một họ $s = (s_\alpha)_{\alpha \in C}$ các phần tử của $\{0, 1\}$ sao cho tập hợp các $x = (x_\alpha)_{\alpha \in C}$ trong X mà

(1) Nói như vậy cũng tương đương với việc nói rằng $\mathbf{R}$ có thể được trang bị một cấu trúc thứ tự tốt $\prec$ sao cho tập hợp các $x \in \mathbf{R}$ thỏa mãn $x \prec a$ là đếm được với mọi $a \in \mathbf{R}$. Người ta đã chứng minh (xem P. COHEN, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 50 (1963), 1143–1148 và 51 (1964), 105–110) rằng tiên đề này không đưa thêm mâu thuẫn mới nào vào lý thuyết tập hợp, và hơn nữa nó độc lập với các tiên đề khác của lý thuyết tập hợp.

$x_\alpha = s_\alpha$ với mọi $\alpha \leq \beta$ thuộc về $\mathscr{U}$ với mọi $\beta \in C$ (xem Bài tập 12); khi đó $s$ thuộc về mọi phần tử của $\mathscr{U}$.(2)