Exercice 18, § 3

Soient T₁ et T₂ deux espaces topologiques et f une application continue bijective de T₁ sur T₂. On suppose que, pour toute fonction dénombrablement additive et bornée m₁ sur la tribu borélienne $\mathfrak{B}(T_1)$, il existe une suite de parties compactes Kₙ de T₁ telles que $m_1(T_1 - \bigcup_n K_n) = 0$. Soit $m_2$ une fonction dénombrablement additive et bornée sur $\mathfrak{B}(T_2)$. Pour qu'il existe une fonction dénombrablement additive et bornée $m_1$ sur $\mathfrak{B}(T_1)$ telle que $m_2(A) = m_1(f^{-1}(A))$ pour tout $A \in \mathfrak{B}(T_2)$, il faut et il suffit que la condition suivante soit remplie: il existe une suite de parties compactes Kₙ de T₁ telle que $m_2(T_2 - \bigcup_n f(K_n)) = 0$.