Bài tập 18, § 3

Cho $T_1$ và $T_2$ là hai không gian tôpô và $f$ là một ánh xạ song ánh liên tục của $T_1$ lên $T_2$. Giả sử rằng, đối với mọi hàm cộng tính đếm được bị chặn $m_1$ trên họ Borel $\mathscr{B}(T_1)$, tồn tại một dãy các tập con compact $K_n$ của $T_1$ sao cho $m_1(T_1 - \bigcup_n K_n) = 0$. Cho $m_2$ là một hàm cộng tính đếm được bị chặn trên $\mathscr{B}(T_2)$. Để tồn tại một hàm cộng tính đếm được bị chặn $m_1$ trên $\mathscr{B}(T_1)$ sao cho $m_2(A) = m_1(f^{-1}(A))$ với mọi $A \in \mathscr{B}(T_2)$, điều kiện cần và đủ là điều kiện sau được thỏa mãn: tồn tại một dãy các tập con compact $K_n$ của $T_1$ sao cho $m_2(T_2 - \bigcup_n f(K_n)) = 0$.