Exercice 2, § 3

Soient $E$ un ensemble, $\Phi$ un clan de parties de $E$ et $V$ un espace de Riesz complètement réticulé. On dit qu'une application $m$ de $\Phi$ dans $V$ est positive si l'on a $m(A) \geq 0$ pour tout $A \in \Phi$, qu'elle est additive si l'on a $m(A \cup B) = m(A) + m(B)$ lorsque les ensembles $A \in \Phi$ et $B \in \Phi$ sont disjoints, et qu'elle est relativement bornée si l'ensemble des éléments $m(B)$ pour $B \in \Phi, B \subset A$ est majoré dans $V$ quel que soit $A \in \Phi$. a) Soit $m$ une application relativement bornée de $\Phi$ dans $V$. On définit pour tout $A$ les éléments $m_+(A), m_-(A)$ et $|m|(A)$ de $V$ comme dans l'exerc. 1, a). Montrer que $|m|(A)$ est la borne supérieure de l'ensemble des éléments de $V$ de la forme $\sum_{i=1}^p |m(A_i)|$ pour toutes les partitions finies $(A_i)_{1 \leq i \leq p}$ de $A$ en ensembles appartenant à $\Phi$. En déduire que l'application $|m|$ de $\Phi$ dans $V$ est additive, puis que $m$ est différence des applications additives et positives $m_+$ et $m_-$ de $\Phi$ dans $V$. b) Soient $m'$ et $m''$ deux applications additives et positives de $\Phi$ dans $V$ et $m = m' - m''$. Montrer que $m$ est relativement bornée, et que l'on a $m' \geq m_+$ et $m'' \geq m_-$. c) Généraliser l'exerc. 1, d).