Bài tập 2, § 3

Cho E là một tập hợp, $\Phi$ là một họ các tập con của E, và V là một không gian Riesz dàn có thứ tự đầy đủ. Một ánh xạ m từ $\Phi$ vào V được gọi là dương nếu $m(A) \geq 0$ với mọi $A \in \Phi$, được gọi là cộng tính nếu $m(A \cup B) = m(A) + m(B)$ khi các tập hợp $A \in \Phi$ và $B \in \Phi$ là rời nhau, và được gọi là bị chặn tương đối nếu tập hợp các phần tử $m(B)$ với $B \in \Phi, B \subset A$ là bị chặn trên trong V với mọi $A \in \Phi$.

a) Cho m là một ánh xạ bị chặn tương đối từ $\Phi$ vào V. Với mỗi A, ta định nghĩa các phần tử $m_+(A), m_-(A)$ và $|m|(A)$ của V như trong Bài tập 1 a). Chứng minh rằng $|m|(A)$ là supremum của tập hợp các phần tử của V có dạng $\sum_{i=1}^{p} |m(A_i)|$ với mọi phân hoạch hữu hạn $(A_i)_{1 \leq i \leq p}$ của A thành các tập hợp thuộc $\Phi$. Từ đó, suy ra rằng ánh xạ $|m|$ từ $\Phi$ vào V là cộng tính, rồi suy ra rằng m là hiệu của các ánh xạ cộng tính dương $m_+$ và $m_-$ từ $\Phi$ vào V.

b) Cho $m'$ và $m''$ là hai ánh xạ cộng tính dương từ $\Phi$ vào V và cho $m = m' - m''$. Chứng minh rằng m là bị chặn tương đối, và rằng $m' \geq m_+$ và $m'' \geq m_-$.

c) Tổng quát hóa Bài tập 1 d).