Exercice 4, § 3

Les notations et hypothèses sont celles de l’exercice précédent. On appelle mesure abstraite sur $(E, \mathfrak{T})$ toute application $m$ de $\mathfrak{T}$ dans $\overline{\mathbf{R}}_+$ ayant la propriété suivante: pour toute suite $(A_n)_{n \in \mathbf{N}}$ d’ensembles appartenant à $\mathfrak{T}$, deux à deux disjoints, on a $m(\bigcup_{n \in \mathbf{N}} A_n) = \sum_{n \in \mathbf{N}} m(A_n)$.

On appelle intégrale sur $(E, \mathfrak{T})$ toute application $J$ de $\mathscr{M}$ dans $\overline{\mathbf{R}}_+$ satisfaisant aux conditions suivantes: $\alpha)$ on a $J(\lambda .f) = \lambda .J(f)$ pour $\lambda \in \overline{\mathbf{R}}_+$ et $f \in \mathscr{M}$ (avec la convention usuelle $0.(+\infty) = 0$); $\beta)$ on a $J\left( \sum_{n \in \mathbf{N}} f_n \right) = \sum_{n \in \mathbf{N}} J(f_n)$ pour toute suite $(f_n)_{n \in \mathbf{N}}$ d’éléments de $\mathscr{M}$.

a) Soit $J$ une intégrale sur $(E, \mathfrak{T})$; pour toute partie $A \in \mathfrak{T}$, on pose $m_J(A) = J(\varphi_A)$; montrer que $m_J$ est une mesure abstraite et que l’application $J \mapsto m_J$ est une bijection de l’ensemble des intégrales sur $(E, \mathfrak{T})$ sur l’ensemble des mesures abstraites sur $(E, \mathfrak{T})$ (si $m$ est une mesure abstraite, définir d’abord $J(f)$ par linéarité pour les fonctions positives finies $\mathfrak{T}$-étagées et utiliser l’exerc. 3, e)). Si $m$ est une mesure abstraite, on notera $m^*$ l’intégrale correspondante.

b) Soit $m$ une mesure abstraite sur $(E, \mathfrak{T})$. Pour toute fonction positive $f$ sur E, finie ou non, on pose $m^*(f) = \inf_{g \geq f, g \in \mathscr{M}} m^*(g)$. Montrer que $m^*$ est un encombrement sur E (imiter la démonstration du th. 3 du chap. IV, § 1, n° 3). On pose $m^*(A) = m^*(\varphi_A)$ pour toute partie A de E.