Bài tập 4, § 3

Các ký hiệu và các giả thiết là những ký hiệu và giả thiết của bài tập trước. Ta gọi độ đo trừu tượng trên $(E, \mathscr{T})$ là mọi ánh xạ m của $\mathscr{T}$ vào $\overline{\mathbf{R}}_+$ có tính chất sau: đối với mọi dãy $(A_n)_{n \in \mathbf{N}}$ các tập hợp thuộc $\mathscr{T}$, rời nhau từng đôi một, ta có $m(\bigcup_{n \in \mathbf{N}} A_n) = \sum_{n \in \mathbf{N}} m(A_n)$. Ta gọi tích phân trên $(E, \mathscr{T})$ là mọi ánh xạ J của $\mathscr{M}$ vào $\overline{\mathbf{R}}_+$ thỏa mãn các điều kiện sau: $\alpha)$ $J(\lambda \cdot f) = \lambda \cdot J(f)$ với $\lambda \in \overline{\mathbf{R}}_+$ và $f \in \mathscr{M}$ (với quy ước thông thường $0 \cdot (+\infty) = 0$); $\beta)$ $J\left( \sum_{n \in \mathbf{N}} f_n \right) = \sum_{n \in \mathbf{N}} J(f_n)$ đối với mọi dãy $(f_n)_{n \in \mathbf{N}}$ các phần tử của $\mathscr{M}$.

a) Cho J là một tích phân trên $(E, \mathscr{T})$; với mọi tập con $A \in \mathscr{T}$, đặt $m_J(A) = J(\varphi_A)$; hãy chứng minh rằng $m_J$ là một độ đo trừu tượng và rằng ánh xạ $J \mapsto m_J$ là một song ánh từ tập hợp các tích phân trên $(E, \mathscr{T})$ lên tập hợp các độ đo trừu tượng trên $(E, \mathscr{T})$ (nếu m là một độ đo trừu tượng, trước hết hãy định nghĩa $J(f)$ bằng tính tuyến tính đối với các hàm bậc thang $\mathscr{T}$ dương hữu hạn và sử dụng Exer. 3 e)). Nếu m là một độ đo trừu tượng, ta sẽ ký hiệu tích phân tương ứng bởi $m^*$.

b) Cho m là một độ đo trừu tượng trên $(E, \mathscr{T})$. Đối với mọi hàm dương f trên E, hữu hạn hoặc không, đặt $m^*(f) = \inf_{g \in \mathscr{M}, g \geq f} m^*(g)$. Hãy chứng minh rằng $m^*$ là một độ đo ngoài trên E (bắt chước chứng minh của Định lý 3 của Ch. IV, §1, No. 3). Ta đặt $m^*(A) = m^*(\varphi_A)$ đối với mọi tập con A của E.