Exercice 9, § 3

Soit X un ensemble; on appelle jauge toute application dénombrablement additive de $\mathfrak{P}(X)$ dans $\mathbf{R}_+$; on dit qu’une jauge m sur X est diffuse si l’on a $m(\{x\}) = 0$ pour tout $x \in X$, et qu’elle est atomique s’il existe une fonction positive f sur X telle que $m(A) = \sum_{x \in A} f(x)$ pour toute partie A de X. a) Montrer que toute jauge sur X se décompose de manière unique en somme d’une jauge diffuse et d’une jauge atomique. b) Soient $X'$ une partie de X et $m'$ une jauge sur $X'$; pour toute partie A de X, on pose $m(A) = m'(A \cap X')$. Montre que m est une jauge sur X et qu’elle est diffuse (resp. atomique) si et seulement si $m'$ a la même propriété. c) Soient m une jauge sur X et $(X_i)_{i \in I}$ une famille de parties de X deux à deux disjointes. Si toute jauge sur I est atomique, on a $m(\bigcup_{i \in I} X_i) = \sum_{i \in I} m(X_i)$.