Bài tập 9, § 3

Cho $X$ là một tập hợp; người ta gọi gauge trên $X$ là mọi ánh xạ cộng tính đếm được từ $\mathscr{P}(X)$ vào $\mathbf{R}_+$; một gauge $m$ trên $X$ được gọi là khuếch tán nếu $m(\{x\}) = 0$ với mọi $x \in X$, và được gọi là nguyên tử nếu tồn tại một hàm dương $f$ trên $X$ sao cho $m(A) = \sum_{x \in A} f(x)$ với mọi tập con $A$ của $X$.

a) Chứng minh rằng mọi gauge trên $X$ có thể được phân tích theo một cách duy nhất thành tổng của một gauge khuếch tán và một gauge nguyên tử.

b) Cho $X'$ là một tập con của $X$, và $m'$ là một gauge trên $X'$; với mọi tập con $A$ của $X$, đặt $m(A) = m'(A \cap X')$. Chứng minh rằng $m$ là một gauge trên $X$ và rằng nó là khuếch tán (tương ứng nguyên tử) khi và chỉ khi $m'$ có cùng tính chất.

c) Cho $m$ là một gauge trên $X$ và cho $(X_i)_{i \in I}$ là một họ các tập con rời nhau từng đôi một của $X$. Nếu mọi gauge trên $I$ đều là nguyên tử, thì $m(\bigcup_{i \in I} X_i) = \sum_{i \in I} m(X_i)$.