Exercice 1, § 4

Soit $\mathscr{T} = (K_i, p_{ij})$ un système projectif d'espaces compacts indexé par l'ensemble I, K un espace compact et $(p_i)_{i \in I}$ une famille cohérente et séparante d'applications continues $p_i : K \to K_i$. a) Soit A l'ensemble des fonctions continues dans K de la forme $f_i \circ p_i$ où i parcourt I et $f_i$ l'ensemble des fonctions continues sur Kᵢ. Montrer que A est un sous-espace vectoriel dense de $C(K)$. b) Soit $(\mu_i)_{i \in I}$ un système sous-projectif de mesures positives sur $\mathscr{T}$. On suppose les $p_i$ surjectives. Pour tout $f \in A$, soit $I_f$ l'ensemble des $i \in I$ tels que $f$ soit de la forme $f_i \circ p_i$ avec $f_i \in C(K_i)$ (nécessairement unique). Montrer qu'il existe une mesure $\pi$ sur K, et une seule, telle que l'on ait $\pi(f) = \inf_{i \in I_f} \mu_i(f_i)$ pour tout $f \in A$. Montrer que $\pi$ est la plus grande des mesures positives $\mu$ sur K telles que $p_i(\mu) \leq \mu_i$ pour tout $i \in I$.