Bài tập 1, § 4

Cho $\mathscr{T} = (K_i, p_{ij})$ là một hệ ngược của các không gian compact được chỉ số hóa bởi tập hợp $I$, cho $K$ là một không gian compact, và cho $(p_i)_{i \in I}$ là một họ nhất quán và tách của các ánh xạ liên tục $p_i : K \to K_i$.

(2) Một lực lượng $c$ được gọi là không thể tiếp cận mạnh nếu nó là không đếm được, $2^b < c$ với mọi lực lượng $b < c$, và $\sum_{i \in I} c_i < c$ với mọi họ các lực lượng $c_i < c$ sao cho $\mathrm{Card}(I) < c$. Các Bài tập 11 và 13 chỉ ra rằng, giả sử giả thuyết continuum, lực lượng nhỏ nhất không phải là một lực lượng Ulam là không thể tiếp cận mạnh. Người ta không biết liệu tiên đề về sự tồn tại của các lực lượng không thể tiếp cận mạnh có mâu thuẫn với các tiên đề khác của lý thuyết tập hợp hay không.

a) Cho $A$ là tập hợp các hàm liên tục trên $K$ có dạng $f_i \circ p_i$, trong đó $i$ chạy trên $I$ và $f_i$ chạy trên tập hợp các hàm thực liên tục trên $K_i$. Chứng minh rằng $A$ là một không gian con tuyến tính trù mật của $\mathscr{C}(K)$.

b) Cho $(\mu_i)_{i \in I}$ là một hệ ngược con của các độ đo dương trên $\mathscr{T}$. Giả sử rằng các $p_i$ là toàn ánh. Với mọi $f \in A$, cho $I_f$ là tập hợp các $i \in I$ sao cho $f$ có dạng $f_i \circ p_i$ với $f_i \in \mathscr{C}(K_i)$ (duy nhất một cách tất yếu). Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một độ đo $\pi$ trên $K$ sao cho $\pi(f) = \inf_{i \in I_f} \mu_i(f_i)$ với mọi $f \in A$. Chứng minh rằng $\pi$ là lớn nhất trong các độ đo dương $\mu$ trên $K$ sao cho $p_i(\mu) \leq \mu_i$ với mọi $i \in I$.