Exercice 2, § 4

Les hypothèses et notations sont celles du th. 1 du n° 2, dont on se propose d'indiquer une nouvelle démonstration. a) Soit K une partie compacte de T; pour tout $i \in I$, on pose $K_i = p_i(T)$, et l'on note $q_i$ l'application de K sur Kᵢ qui coïncide dans K avec $p_i$; pour $i \leq j$ on note $q_{ij}$ l'application de Kᵢ dans Kⱼ qui coïncide dans Kᵢ avec $p_{ij}$. Déduire de l'exercice précédent l'existence d'une plus grande mesure positive $\pi^K$ sur K telle que $q_i(\pi^K) \leq (\mu_i)_{K_i}$ pour tout $i \in I$. b) Si K et L sont des parties compactes de T telles que $K \subset L$, montrer que l'on a $(\pi^L)_K \geq \pi^K$; en déduire que l'ensemble des mesures de la forme $i^K(\pi^K)$ (où K parcourt l'ensemble des parties compactes de T, et où $i^K$ est l'injection canonique de K dans T) admet une borne supérieure $\mu$ dans $\mathscr{M}_+(T)$. c) Montrer que l'on a $p_i(\mu) = \mu_i$ pour tout $i \in I$ (il suffit de remarquer que l'on a $p_i(\mu) \leq \mu_i$ et que les mesures $p_i(\mu)$ et $\mu_i$ ont même masse totale d'après l'hypothèse (P)).