Bài tập 2, § 4

Các giả thiết và ký hiệu là của Định lý 1 của No. 2, mà ta đề nghị đưa ra một chứng minh mới.

a) Cho $K$ là một tập con compact của $T$; với mọi $i \in I$, đặt $K_i = p_i(T)$, và ký hiệu $q_i$ là ánh xạ của $K$ lên $K_i$ trùng với $p_i$ trên $K$; với $i \leq j$, ký hiệu $q_{ij}$ là ánh xạ của $K_j$ vào $K_i$ trùng với $p_{ij}$ trên $K_j$. Suy ra từ bài tập trước sự tồn tại của một độ đo dương lớn nhất $\pi^K$ trên $K$ sao cho $q_i(\pi^K) = (\mu_i)_{K_i}$ với mọi $i \in I$.

b) Nếu $K$ và $L$ là các tập con compact của $T$ sao cho $K \subset L$, chứng minh rằng $(\pi^L)_K \geq \pi^K$; suy ra từ đó rằng tập hợp các độ đo có dạng $i^K(\pi^K)$ (trong đó $K$ chạy trên tập hợp các tập con compact của $T$, và $i^K$ là đơn ánh chính tắc của $K$ vào $T$) nhận một cận trên đúng $\mu$ trong $\mathscr{M}_+(T)$.

c) Chứng minh rằng $p_i(\mu) = \mu_i$ với mọi $i \in I$ (chỉ cần nhận xét rằng $p_i(\mu) \leq \mu_i$ và các độ đo $p_i(\mu)$ và $\mu_i$ có cùng khối lượng toàn phần theo giả thiết (P)).