Exercice 10, § 5

Soit T un espace complètement régulier; on note $\mathscr{S}$ l'ensemble des fonctions réelles $f \geq 1$ dans T, telles que l'ensemble des points t de T pour lesquels $f(t) \leq c$ soit compact pour tout nombre réel c. Pour tout $f \in \mathscr{S}$, on note $\mathscr{M}_f$ l'ensemble des mesures bornées $\mu$ sur T telles que $|\mu|^\bullet(f) \leq 1$. a) Pour qu'une partie H de $\mathscr{M}^b(T)$ satisfasse à la condition de Prokhorov, il faut et il suffit qu'il existe $f \in \mathscr{S}$ tel que $H \subset \mathscr{M}_f$ (pour la nécessité, prendre $f$ de la forme $c(1 + \sum_{n \geq 1} n.f_n)$ où $f_n$ est la fonction caractéristique d'un ensemble $U_n$ tel que $T - U_n$ soit compact et $\sup_{\mu \in H} |\mu|^\bullet(U_n) \leq 2^{-n}$. b) Supposons T localement compact. Pour qu'une partie H de $\mathscr{M}^b(T)$ soit relativement compacte (pour la topologie étroite), il faut et il suffit qu'il existe une fonction continue $f \in \mathscr{S}$ telle que $H \subset \mathscr{M}_f$. c) Soit C un cône convexe fermé dans $\mathscr{M}_+^b(T)$. Montrer que $C \cap \mathscr{M}_f$ est un chapeau (Esp. vect. top. chap. II, 2e éd., § 7, n° 2, déf. 3) de C pour tout $f \in \mathscr{S}$, et en déduire que C est réunion de ses chapeaux. On note E la réunion des génératrices extrémales de C. Supposons T sous-linien. Montrer que, pour tout $\pi \in C$, il existe une partie borélienne B de $\mathscr{M}_+^b(T)$ contenue dans E, et une mesure positive P de masse totale 1 sur B telle que $\pi = \int_B \mu \, dP(\mu)$ (appliquer le théorème de représentation intégrale de Choquet).