Bài tập 10, § 5

Cho T là một không gian chính quy hoàn toàn; ký hiệu $\mathscr{S}$ là tập hợp các hàm thực $f \geq 1$ trên T, sao cho tập hợp các điểm t của T mà $f(t) \leq c$ là compact với mọi số thực c. Với mọi $f \in \mathscr{S}$, ký hiệu $\mathscr{M}_f$ là tập hợp các độ đo bị chặn $\mu$ trên T sao cho $|\mu|^\bullet(f) \leq 1$.

a) Đối với một tập con H của $\mathscr{M}^b(T)$, để thỏa mãn điều kiện Prokhorov, điều kiện cần và đủ là tồn tại một $f \in \mathscr{S}$ sao cho $H \subset \mathscr{M}_f$ (đối với tính cần thiết, lấy $f$ có dạng $c(1 + \sum_{n \geq 1} n \cdot f_n)$ trong đó $f_n$ là hàm đặc trưng của một tập hợp $U_n$ sao cho $T - U_n$ là compact và $\sup_{\mu \in H} |\mu|^\bullet(U_n) \leq 2^{-n}$).

b) Giả sử T là địa phương compact. Đối với một tập con H của $\mathscr{M}^b(T)$, để tương đối compact (đối với tôpô chặt), điều kiện cần và đủ là tồn tại một hàm liên tục $f \in \mathscr{S}$ sao cho $H \subset \mathscr{M}_f$.

c) Cho C là một nón lồi đóng trong $\mathscr{M}_+^b(T)$. Hãy chứng minh rằng $C \cap \mathscr{M}_f$ là một mũ của C (TVS, II, §7, No. 2, Định. 3) với mọi $f \in \mathscr{S}$, và suy ra từ đó rằng C là hợp của các mũ của nó. Ký hiệu E là hợp của các sinh cực trị của C. Giả sử T là Souslin. Hãy chứng minh rằng với mọi $\pi \in C$, tồn tại một tập con Borel B của $\mathscr{M}_+^b(T)$ được chứa trong E và một độ đo dương P trên B có khối lượng toàn phần 1, sao cho $\pi = \int_B \mu dP(\mu)$ (áp dụng định lý biểu diễn tích phân Choquet).