Exercice 3, § 5

Soient T un espace polonais et $(\mu_n)$ une suite de mesures positives bornées sur T convergeant étroitement vers une mesure $\mu$. On note $\mathfrak{C}$ l’ensemble des parties A de T ayant la propriété suivante: pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie compacte K de A telle que $\sup_n \mu_n(A - K) < \varepsilon$. On note $\mathfrak{D}$ l’ensemble des parties A de T appartenant à $\mathfrak{C}$ ainsi que leur complémentaire.

a) Si les ensembles A et A’ appartiennent à $\mathfrak{C}$, il en est de même de $A \cup A'$ et $A \cap A'$; en déduire que $\mathfrak{D}$ est un clan de parties de T.

b) Toute partie A de T dont la frontière est $\mu$-négligeable appartient à $\mathfrak{D}$ (appliquer le théorème de Prokhorov à l’intérieur de A, et utiliser l’exercice 2, e)).

c) Tout $A \in \mathfrak{D}$ est un ensemble de convergence pour la suite $(\mu_n)$ (cf. exerc. 2); réciproquement, tout ensemble de convergence ouvert ou fermé appartient à $\mathfrak{D}$.

d) Soit $A \in \mathfrak{D}$. Montrer qu’il existe une suite d’ensembles compacts disjoints $K_p$ et une partie N de T ayant les propriétés suivantes: $\alpha)$ chaque $K_p$ est un ensemble de convergence pour la suite $(\mu_n)$; $\beta)$ on a $A \subset N \cup \bigcup_p K_p$ et $\bigcup_p K_p \subset A \cup N; \gamma)$ pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un voisinage ouvert U de N tel que $\sup_n \mu_n(U) < \varepsilon$ (appliquer l’exerc. 2, f) et le théorème de Prokhorov à un sous-espace convenable de T qui est intersection d’une suite d’ouverts).