Bài tập 3, § 5

Cho T là một không gian Polish và $(\mu_n)$ là một dãy các độ đo dương bị chặn trên T hội tụ chặt đến một độ đo $\mu$. Ký hiệu $\mathscr{C}$ là tập hợp các tập con A của T có tính chất sau: với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con compact K của A sao cho $\sup_{n} \mu_n(A - K) < \varepsilon$. Ký hiệu $\mathscr{D}$ là tập hợp các tập con A của T mà cùng với phần bù của chúng đều thuộc $\mathscr{C}$.

a) Nếu các tập A và $A'$ thuộc $\mathscr{C}$, thì $A \cup A'$ và $A \cap A'$ cũng vậy; suy ra từ đó rằng $\mathscr{D}$ là một họ các tập con của T.

b) Mọi tập con A của T mà biên của nó là $\mu$-không đáng kể đều thuộc $\mathscr{D}$ (áp dụng định lý Prokhorov cho phần trong của A, và sử dụng Bài tập 2 e)).

c) Mọi $A \in \mathscr{D}$ đều là một tập hội tụ đối với dãy $(\mu_n)$ (xem Bài tập 2); ngược lại, mọi tập hội tụ mở hoặc đóng đều thuộc $\mathscr{D}$.

d) Cho $A \in \mathscr{D}$. Chứng minh rằng tồn tại một dãy các tập compact rời nhau $K_p$ và một tập con N của T có các tính chất sau: $\alpha)$ mỗi $K_p$ là một tập hội tụ đối với dãy $(\mu_n)$; $\beta)$ $A \subset N \cup \bigcup_p K_p$ và $\bigcup_p K_p \subset A \cup N$; $\gamma)$ với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một lân cận mở U của N sao cho $\sup_{n} \mu_n(U) < \varepsilon$ (áp dụng Bài tập 2 f) và định lý Prokhorov cho một không gian con thích hợp của T là giao của một dãy các tập mở).