Exercice 5, § 5

Soit E un espace hilbertien réel, admettant une base orthonormale $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$. Soit T l’espace E muni de la topologie affaiblie, et soit $(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite de nombres réels telle que $0 < a_n < 1$ pour tout n et $\lim_{n \to \infty} n^2 \log a_n = 0$. Pour tout $n \in \mathbf{N}$, on pose $\mu_n = \sum_{p \in \mathbf{N}} a_n^p (1 - a_n) \cdot \varepsilon_n \cdot x_p$.

Montrer que $\mu_n$ est une mesure positive bornée de masse totale 1 sur T pour tout $n \in \mathbf{N}$, que l’on a $\lim_{n \to \infty} \mu_n = \varepsilon_0$ (convergence étroite) et que $\lim_{n \to \infty} \mu_n(K) = 0$ pour toute partie compacte K de T (appliquer le critère de l’exercice précédent à l’ensemble $U$ des voisinages de 0 de la forme $\{x | (a|x| \leq 1\}$ où a parcourt E). En particulier, l’ensemble des éléments de la suite $(\mu_n)_{n \in \mathbf{N}}$ est une partie relativement compacte de $\mathscr{M}_+^b(T)$ qui ne satisfait pas à la condition de Prokhorov.