Bài tập 5, § 5

Cho E là một không gian Hilbert thực thừa nhận một cơ sở trực chuẩn $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$. Cho T là không gian E được trang bị tôpô yếu, và cho $(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy số thực sao cho $0 < a_n < 1$ với mọi n và $\lim_{n \to \infty} n^2 \log a_n = 0$. Với mọi $n \in \mathbf{N}$, đặt $\mu_n = \sum_{p \in \mathbf{N}} a_n^p (1 - a_n) \cdot \varepsilon_{n \cdot x_p}$. Chứng minh rằng $\mu_n$ là một độ đo dương bị chặn trên T có khối lượng toàn phần bằng 1 với mọi $n \in \mathbf{N}$, rằng $\lim_{n \to \infty} \mu_n = \varepsilon_0$ (hội tụ chặt), và rằng $\lim_{n \to \infty} \mu_n(K) = 0$ với mọi tập con compact K của T (áp dụng tiêu chuẩn của bài tập trước cho tập hợp $\mathscr{U}$ các lân cận của 0 có dạng $\{ x | (a|x| \leq 1 \}$, trong đó a chạy trên E). Đặc biệt, tập hợp các phần tử của dãy $(\mu_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một tập con tương đối compact của $\mathscr{M}_+^b(T)$ nhưng không thỏa mãn điều kiện Prokhorov.