Exercice 6, § 5

Soient T un espace topologique et H un ensemble de mesures positives sur T; on suppose remplie la condition suivante: (V) Tout point de T admet un voisinage ouvert W tel que $\sup_{\mu \in H} \mu^*(W)$ soit fini.

Enfin, soit $\mathscr{U}$ un ultrafiltre sur $H$. a) Soit $K$ une partie compacte de $T$. Montrer que les mesures induites $\mu_K (\mu \in H)$ convergent vaguement selon $\mathscr{U}$ vers une mesure $\pi^K$ sur $K$. b) Soient $K$ et $L$ deux parties compactes de $T$ telles que $K \subset L$; montrer que l’on a $(\pi^L)_K \geq \pi^K$. c) Pour toute partie compacte $K$ de $T$, soit $i^K$ l’injection canonique de $K$ dans $T$. Montrer que la famille de mesures $i^K(\pi^K)$ admet une borne supérieure $\pi$ dans $\mathscr{M}_+(T)$. d) Soient $f$ une fonction positive semi-continue inférieurement dans $T$, et $g$ une fonction positive semi-continue supérieurement à support compact dans $T$. Montrer que l’on a $\pi^*(f) \leq \lim_{\mathscr{U}, \mu} \mu^*(f)$ et $\pi^*(g) \geq \lim_{\mathscr{U}, \mu} \mu^*(g)$.