Bài tập 6, § 5

Cho T là một không gian tôpô và H là một tập hợp các độ đo dương trên T; giả sử điều kiện sau được thỏa mãn: (V) Mọi điểm của T đều có một lân cận mở W sao cho $\sup_{\mu \in H} \mu^*(W)$ là hữu hạn.

Cuối cùng, cho $\mathscr{U}$ là một siêu lọc trên H.

a) Cho K là một tập con compact của T. Chứng minh rằng các độ đo cảm sinh $\mu_K$ ($\mu \in H$) hội tụ mơ hồ theo $\mathscr{U}$ đến một độ đo $\pi^K$ trên K.

b) Cho K và L là hai tập con compact của T sao cho $K \subset L$; chứng minh rằng $(\pi^L)_K \geq \pi^K$.

c) Với mọi tập con compact K của T, cho $i^K$ là đơn ánh chính tắc của K vào T. Chứng minh rằng họ các độ đo $i^K(\pi^K)$ có một supremum $\pi$ trong $\mathscr{M}_+(T)$.

d) Cho $f$ là một hàm dương nửa liên tục dưới trên T, và $g$ là một hàm dương nửa liên tục trên trên T có giá compact. Chứng minh rằng $\pi^*(f) \leq \lim_{\mu, \mathscr{U}} \mu^*(f)$ và $\pi^*(g) \geq \lim_{\mu, \mathscr{U}} \mu^*(g)$.