Exercice 1, § 6

Pour tout intervalle compact $K$ de $\mathbf{R}$, on note $C(K)$ l’espace vectoriel réel des fonctions continues dans $K$, muni de la topologie de la convergence uniforme; on note $D(K)$ l’espace vectoriel des fonctions réelles indéfiniment différentiables dans $\mathbf{R}$, nulles en dehors de $K$. On munit $D(K)$ de la topologie la moins fine rendant continues les applications $f \mapsto D^p f |K$ pour tout entier positif $p$ (D est l’opérateur de dérivation). On pose $D = \bigcup_K D(K)$, espace que l’on munit de la topologie localement convexe limite inductive des topologies des sous-espaces $D(K)$.

a) Pour tout entier $p \geqslant 0$, et toute fonction $f \in D(K)$, on pose $Q_p(f) = \int_K (D^p f(x))^2 \, dx$. Montrer que $Q_p$ est une forme quadratique positive sur $D(K)$, que la suite des normes $Q_p^{1/2}$ définit la topologie de $D(K)$ et que $\operatorname{Tr}(Q_{p+1}/Q_p)$ est fini pour tout $p \geqslant 0$. (Pour tout $t$ réel, soit $I_t$ la fonction caractéristique de l’intervalle $[t, +\infty[$; en utilisant la formule $D^p f(t) = \int_K D^{p+1}f . I_t \, dx$ et l’inégalité de Bessel, prouver que l’on a $\sum_{i=1}^n Q_p(f_i) \leqslant l^2$ pour toute suite finie $f_1, \ldots, f_n$ de fonctions appartenant à $D(K)$, orthonormales pour $Q_{p+1}$; le nombre $l$ est la longueur de l’intervalle $K$.) En déduire que $D(K)$ est un espace nucléaire.

b) Prouver que l’espace $D$ est nucléaire. (Etablir d’abord l’existence d’une fonction non nulle dans $D$, et en déduire l’existence d’une fonction $h \geqslant 0$ dans $D$ telle que $\sum_{n \in \mathbf{Z}} h(x-n) = 1$ pour tout $x \in \mathbf{R}$. Soit $K$ un intervalle compact de $\mathbf{R}$ telle que $h$ soit nulle en dehors de $K$; pour tout entier $n$, poser $h_n(x) = h(x-n)$ et $K_n = K + n$. Soit $V$ un voisinage convexe de $0$ dans $D$; il existe des entiers positifs $p_n$ tels que toute fonction $f \in D(K_n)$ telle que $Q_{p_n}(f) \leqslant 1$ appartienne à $V$. Définir les formes quadratiques continues $Q$ et $R$ sur $D$ par $Q(f) = \sum_{n \in \mathbf{Z}} 2^{2n} Q_{p_n}(f.h_n)$ et $R(f) = \sum_{n \in \mathbf{Z}} 2^{3n} Q_{p_n+1}(f.h_n)$; montrer que $V$ contient l’ensemble des $f \in D$ telles que $Q(f) \leqslant 1$ et que $\operatorname{Tr}(R/Q)$ est fini.)

c) Généraliser ce qui précède aux fonctions indéfiniment différentiables à support compact sur $\mathbf{R}^n$.