Bài tập 1, § 6

Với mọi khoảng compact $K$ của $\mathbf{R}$, gọi $\mathscr{C}(K)$ là không gian vectơ thực của các hàm liên tục trên $K$, được trang bị tôpô của sự hội tụ đều; ký hiệu $\mathscr{D}(K)$ là không gian vectơ của các hàm thực khả vi vô hạn trên $\mathbf{R}$ bằng không ngoài $K$. Trang bị cho $\mathscr{D}(K)$ tôpô thô nhất sao cho các ánh xạ $f \mapsto D^p f|K$ liên tục với mọi số nguyên dương $p$ (D là toán tử đạo hàm). Đặt $\mathscr{D} = \bigcup_K \mathscr{D}(K)$, là một không gian được trang bị tôpô lồi địa phương là giới hạn trực tiếp của các tôpô của các không gian con $\mathscr{D}(K)$.

a) Với mọi số nguyên $p \geq 0$ và mọi hàm $f \in \mathscr{D}(K)$, đặt

Chứng minh rằng $Q_p$ là một dạng toàn phương dương trên $\mathscr{D}(K)$, rằng dãy các chuẩn $Q_p^{1/2}$ định nghĩa tôpô của $\mathscr{D}(K)$, và rằng $\operatorname{Tr}(Q_{p+1}/Q_p)$ là hữu hạn với mọi $p \geq 0$. (Với mọi số thực $t$, gọi $I_t$ là hàm đặc trưng của khoảng $[t, +\infty[$; sử dụng công thức $D^p f(t) = \int_K D^{p+1} f \cdot I_t dx$ và bất đẳng thức Bessel, chứng minh rằng $\sum_{i=1}^n Q_p(f_i) \leq l^2$ với mọi dãy hữu hạn $f_1, \ldots, f_n$ các hàm thuộc $\mathscr{D}(K)$, trực chuẩn đối với $Q_{p+1}$; số $l$ là độ dài của khoảng $K$.) Suy ra từ điều này rằng $\mathscr{D}(K)$ là một không gian hạt nhân.

b) Chứng minh rằng không gian $\mathscr{D}$ là hạt nhân. (Trước hết chứng minh sự tồn tại của một hàm khác không trong $\mathscr{D}$, và suy ra từ đó sự tồn tại của một hàm $h \geq 0$ trong $\mathscr{D}$ sao cho $\sum_{n \in \mathbf{Z}} h(x-n) = 1$ với mọi $x \in \mathbf{R}$. Gọi $K$ là một khoảng compact của $\mathbf{R}$ sao cho $h$ bằng không ngoài $K$; với mỗi số nguyên $n$, đặt $h_n(x) = h(x-n)$ và $K_n = K + n$. Gọi $V$ là một lân cận lồi của 0 trong $\mathscr{D}$; tồn tại các số nguyên dương $p_n$ sao cho mọi hàm $f \in \mathscr{D}(K_n)$ với $Q_{p_n}(f) \leq 1$ đều thuộc $V$. Định nghĩa các dạng toàn phương liên tục $Q$ và $R$ trên $\mathscr{D}$ bởi $Q(f) = \sum_{n \in \mathbf{Z}} 2^{2n} Q_{p_n}(f \cdot h_n)$ và $R(f) = \sum_{n \in \mathbf{Z}} 2^{3n} Q_{p_n+1}(f \cdot h_n)$; chứng minh rằng $V$ chứa tập hợp các $f \in \mathscr{D}$ sao cho $Q(f) \leq 1$ và rằng $\operatorname{Tr}(R/Q)$ là hữu hạn.)

c) Tổng quát hóa điều đã nêu trên cho các hàm khả vi vô hạn trên $\mathbf{R}^n$ với giá compact.