Exercice 3, § 2

Soit $T$ l’intervalle compact $(0, 1)$ de $\mathbf{R}$; pour tout entier $n > 0$, soit $\lambda_n$ la mesure

sur $T$. Montrer que, dans l’espace $\mathscr{M}(T)$ muni de la topologie vague (ou de la topologie quasi-forte (chap. III, 2e éd., § 1, exerc. 8)), la suite de mesures $(\lambda_n)$ est sommable, mais que la suite $(|\lambda_n|)$ ne l’est pas. Remarquer que, si $\alpha_n = n \cdot \lambda_n(f)$, on a $\sum \alpha_n^2 < +\infty$, en utilisant l’inégalité de Bessel, et en déduire que $\sum |\lambda_n(f)| < +\infty$ par l’inégalité de Cauchy–Schwarz.)