Bài tập 3, § 2

Cho T là khoảng compact $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$; với mọi số nguyên $n > 0$, gọi $\lambda_n$ là độ đo

trên T. Chứng minh rằng, trong không gian $\mathscr{M}(T)$ được trang bị tôpô yếu (hoặc tôpô giả mạnh (Ch. III, §1, Bài tập 8)), dãy các độ đo $(\lambda_n)$ là khả tổng, nhưng dãy $(|\lambda_n|)$ thì không. (Nhận xét rằng nếu $\alpha_n = n \cdot \lambda_n(f)$ thì $\sum_n \alpha_n^2 < +\infty$, bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bessel, và suy ra từ đó rằng $\sum_n |\lambda_n(f)| < +\infty$ bằng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz.)