Exercice 2, § 3

Soient $T$ et $\mu$ l’espace localement compact et la mesure $\geq 0$ définis dans l’exerc. 5 du chap. IV, 2e éd., § 1. On prend pour $X$ l’ensemble $T$ muni de la topologie induite par celle de $\mathbf{R}^2$, de sorte que $X$ est localement compact et dénombrable à l’infini. Soit $t \mapsto \lambda_t$ l’application de T dans $\mathscr{M}(X)$ telle que, pour $t = (0, y)$, $\lambda_t = \varepsilon_t$, et pour $t = (1/n, k/n^2)$, $\lambda_t = \varepsilon_t / n^3$. Montrer que l’application $t \mapsto \lambda_t$ est $\mu$-adéquate, vaguement $\mu$-mesurable, non vaguement continue, et que, si $v = \int \lambda_t \, d\mu(t)$ et si $f = \varphi_I$, où I est le pavé de centre 0 et de côté 2 dans $\mathbf{R}^2$, on a