Bài tập 2, § 3

Cho T và $\mu$ là không gian địa phương compact và độ đo $\geq 0$ được định nghĩa trong Bài tập 5 của Ch. IV, §1. Lấy X là tập hợp T được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô của $\mathbf{R}^2$, sao cho X là địa phương compact và đếm được tại vô cực. Cho $t \mapsto \lambda_t$ là ánh xạ từ T vào $\mathscr{M}(X)$ sao cho $\lambda_t = \varepsilon_t$ với $t = (0, y)$, và $\lambda_t = \varepsilon_t / n^3$ với $t = (1/n, k/n^2)$. Chứng minh rằng ánh xạ $t \mapsto \lambda_t$ là $\mu$-thích hợp, đo được mơ hồ $\mu$, không liên tục mơ hồ, và rằng, nếu $\nu = \int \lambda_t d\mu(t)$ và $f = \varphi_I$, trong đó I là hình bình phương trong $\mathbf{R}^2$ có tâm 0 và các cạnh 2, thì