Exercice 3, § 3

Intégration, V

Soient T, T’ deux espaces localement compacts, $\mu$ une mesure positive sur T, $\mu'$ une mesure positive sur T’. Sur l’espace produit $X = T \times T'$ , posons $\lambda_t = \varepsilon_t \otimes \mu'$ , $\lambda'_t = \mu \otimes \varepsilon_{t'}$ pour $t \in T, t' \in T'$ . L’application $t \mapsto \lambda_t$ (resp. $t' \mapsto \lambda'_t$ ) de T (resp. T’) dans $\mathscr{M}(X)$ est vaguement continue et $\mu$ -adéquate (resp. $\mu'$ -adéquate), et on a

v = \mu \otimes \mu' = \int \lambda_t \, d\mu(t) = \int \lambda'_t \, d\mu'(t')

(chap. III, 2e éd., § 4, n° 1 ; cf. § 8). On prend pour T l’intervalle $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$ , pour $\mu$ la mesure de Lebesgue, pour T’ l’intervalle $[0, 1]$ muni de la topologie discrète, pour $\mu'$ la mesure sur T’ définie par la masse +1 en tout point de T’. Soit $f$ la fonction caractéristique de la « diagonale » de X (ensemble des points $(t, t)$ , où $t$ parcourt $[0, 1]$ ). Montrer que $f$ est semi-continue supérieurement et que l’on a

1 = \int^* d\mu(t) \int^* f(x) \, d\lambda_t(x) < \int^* f(x) \, dv(x) = + \infty

0 = \int^* f(x) \, dv(x) < \int^* d\mu(t) \int^* f(x) \, d\lambda_t(x) = 1.

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.