Bài tập 3, § 3

Cho T, T' là hai không gian compact địa phương, $\mu$ là một độ đo dương trên T, và $\mu'$ là một độ đo dương trên T'. Trên không gian tích $X = T \times T'$, đặt $\lambda_t = \varepsilon_t \otimes \mu'$, $\lambda'_{t'} = \mu \otimes \varepsilon_{t'}$ với $t \in T, t' \in T'$. Ánh xạ $t \mapsto \lambda_t$ (tương ứng $t' \mapsto \lambda'_{t'}$) của T (tương ứng T') vào $\mathscr{M}(X)$ là liên tục theo tôpô mơ hồ và $\mu$-thích hợp (tương ứng $\mu'$-thích hợp), và

(Ch. III, §4, No. 1; cf. §8). Lấy T là khoảng [0, 1] của $\mathbf{R}$, lấy $\mu$ là độ đo Lebesgue, lấy T' là khoảng [0, 1] được trang bị tôpô rời rạc, và lấy $\mu'$ là độ đo trên T' được xác định bởi khối lượng +1 tại mọi điểm của T'. Gọi f là hàm đặc số của 'đường chéo' của X (tập hợp các điểm (t, t), với t chạy trên [0, 1]). Chứng minh rằng f là nửa liên tục trên và rằng

và