Exercice 6, § 3

a) Montrer que dans tous les résultats du § 3 où intervient la notion d’application $t \mapsto \lambda_t$ vaguement continue, on peut remplacer cette hypothèse par la suivante: pour toute fonction $g \in \mathscr{H}_+(X)$, la fonction $t \mapsto \lambda_t(g)$ est semi-continue inférieurement dans T.

b) On considère une application scalairement essentiellement intégrable $t \mapsto \lambda_t$ de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$ qui satisfait à la condition suivante: Pour toute partie compacte $K$ de $T$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe un ensemble compact $K_1 \subset K$ tel que $\mu(K - K_1) \leq \varepsilon$ et que les restrictions à $K_1$ de toutes les fonctions $t \mapsto \langle f, \lambda_t \rangle$, où $f$ parcourt $\mathscr{K}_+(X)$, soient semi-continues inférieurement. Montrer que l’application $t \mapsto \lambda_t$ est $\mu$-adéquate.