Exercice 7, § 3

a) Soit $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ une application scalairement essentiellement intégrable de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$, et soit $v = \int \lambda_t \, d\mu(t)$. Montrer qu’on a, pour toute fonction $f$ semi-continue inférieurement $\geq 0$ définie dans $X$,

b) On suppose que $\Lambda$ est $\mu$-pré-adéquate, on désigne par $\mu'$ une mesure positive $\leq \mu$, et on pose $\mu = \mu' + \mu''$, $v' = \int \lambda_t \, d\mu'(t)$. Déduire de a) qu’on a, pour toute fonction $f$ semi-continue inférieurement $\geq 0$ $v$-intégrable Etendre ce résultat à une fonction $f$ semi-continue inférieurement $\geq 0$ et $v$-modérée. En déduire que si $v$ est une mesure modérée (et en particulier si $X$ est dénombrable à l’infini), $\Lambda$ est $\mu$-adéquate.