Bài tập 7, § 3

a) Cho $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ là một ánh xạ khả tích thiết yếu vô hướng từ T vào $\mathscr{M}_+(X)$, và cho $\nu = \int \lambda_t d\mu(t)$. Chứng minh rằng đối với mọi hàm nửa liên tục dưới $f \geq 0$ xác định trên X,

b) Giả sử rằng $\Lambda$ là $\mu$-tiền-thích hợp, ký hiệu $\mu'$ là một độ đo dương $\leq \mu$, và viết $\mu = \mu' + \mu''$, $\nu' = \int \lambda_t d\mu'(t)$. Suy ra từ a) rằng, đối với mọi hàm nửa liên tục dưới $f \geq 0$ là $\nu$-khả tích,

Mở rộng kết quả này cho một hàm nửa liên tục dưới $f \geq 0$ là $\nu$-điều độ. Từ đó, suy ra rằng nếu $\nu$ là một độ đo điều độ (đặc biệt, nếu X là đếm được tại vô hạn), thì $\Lambda$ là $\mu$-thích hợp.